Adelphi eBooks

La ribellione del numero. E-book. Formato EPUB Paolo Zellini   -  Adelphi, 2023  - 

«Noi siamo di razza divina e possediamo il potere di creare» scriveva in una lettera del 1888 un grande matematico, Richard Dedekind. Quella frase corrisponde al clima di generale ebbrezza ed euforia che regnava allora nella matematica. Con le geometrie non euclidee di Lobacevskij e Riemann, con i numeri transfiniti di Cantor sembrava che si fossero dischiuse le porte di un «paradiso» senza confini, pullulante di inaudite «entità mentali», le quali sussistevano le une accanto alle altre, obbedendo all’unica condizione di non essere contraddittorie. Poi, improvvisamente, nel giro di pochi anni, fra il 1897 e il 1901, cominciarono ad affiorare i primi «paradossi», che segnalavano altrettanti vicoli ciechi nella teoria degli insiemi e nella nuova costruzione logico-matematica di Russell. Era la prima avvisaglia di una devastante «ribellione del numero»: come se la formula rivelasse di avere una natura propria, magari incompatibile con quella della mente che l’aveva appena esplicitata. I matematici furono subito tentati di scrollarsi di dosso, in quanto irrilevanti, tali fastidiose difficoltà. Anzi, proprio nei primi decenni del secolo assistiamo allo svilupparsi della sfida più ambiziosa mai sostenuta dalla matematica: il progetto di assiomatizzazione totale di Hilbert. Ma presto anche quella grandiosa impresa mostrò le sue crepe. Infine, la tarda e definitiva vendetta dei paradossi venne nel 1931 con il teorema di Gödel, che di quei paradossi dimostrava l’insuperabilità. Da allora si può dire sia successo, per la «crisi dei fondamenti», quello che è avvenuto per tante altre scoperte del Moderno: ciò che si era presentato come drammatica e angosciosa novità è diventato parte della vita normale. Le sabbie mobili che un giorno paralizzavano di paura sembrano essersi mutate in un parco pubblico, dove accorti giardinieri hanno disegnato viottoli che permettono di evitare i punti dove si sprofonda «subito».

Alla ricerca di Omega. E-book. Formato EPUB Gregory Chaitin   -  Adelphi, 2017  - 

Tutta la scienza d’Occidente poggia sulla matematica, ma sin dagli anni Trenta i matematici sono divenuti penosamente consapevoli del fatto che la loro disciplina soffre di serie limitazioni. Lo ha messo in luce per la prima volta il teorema di incompletezza di Kurt Gödel: ogni sistema assiomatico formale contiene enunciati veri non dimostrabili all’interno del sistema stesso. Gregory Chaitin ne ha ampliato il concetto, sostenendo che vi sono molte condizioni dove le verità non possono essere dimostrate da alcuna regola a priori. «Gödel ha rivelato solo la punta dell’iceberg: ci sono infiniti teoremi che non possono essere dimostrati da nessun sistema finito di assiomi» spiega il matematico, che ha trovato nel numero Omega il concetto chiave per confermare l’incompletezza della sua scienza. Omega ha preso forma quando Chaitin si è provato a calcolare la probabilità che un programma informatico prima o poi si fermi (il famoso problema della fermata di Alan Turing) e si è reso conto che tale numero ha un valore perfettamente definito ma non potrà mai essere calcolato: è irriducibile. Il motivo conduttore della lucida argomentazione di Chaitin è dato dalla nozione di complessità, già anticipata da Leibniz. Il migliore dei mondi possibili, infatti, non è quello ottimistico in cui «tutto è bene», ma quello, ben più interessante, che «è a un tempo il più semplice quanto a ipotesi e il più ricco di fenomeni». L’intelligibilità del mondo – della fisica come della mente – presuppone la possibilità di operare compressioni algoritmiche (riduzioni della complessità). In fisica, e in genere nelle scienze della natura, gli scienziati «comprimono» le loro osservazioni in leggi, e mostrano come dedurre da esse le osservazioni. I matematici «comprimono» i loro esperimenti computazionali in assiomi, e mostrano come dedurre da essi i teoremi. Questa analogia apre la via a una concezione della matematica come scienza empirica, un rovesciamento di prospettiva che assurge a nuovo paradigma: anziché ricercare nuove prove di coerenza, si tratterà di arricchirne i contenuti per tentativi.