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L’Hauptsatz di Gentzen. E-book. Formato PDF Sergio Galvan   -  Educatt Università Cattolica, 2015  - 

Nelle pagine seguenti viene esposta analiticamente la dimostrazione del teorema di eliminazione del Cut (Hauptsatz) dimostrato da G. Gentzen nelle sue “Untersuchungen über das logische Schliessen,” Mathematische Zeitschrift 39 (1935), pp. 176-210, pp. 405-431, traduzione in inglese in M.E. Szabo (a cura di), The Collected Papers of Gerhard Gentzen, North-Holland, Amsterdam-London, Investigations into Logical Deduction, 1969, pp. 68-131. La dimostrazione originale di Gentzen è una dimostrazione fondata su una doppia induzione, sul rango delle derivazioni e sul grado della formula soggetta al taglio. In questo testo la dimostrazione è una dimostrazione a doppia induzione, ma sulla lunghezza della derivazione e sul grado della formula soggetta al taglio. Il metodo da noi seguito, è ripreso con miglioramenti nel rigore formale e nella completezza analitica dei passaggi da L. Heindorf, Elementare Beweistheorie, Wissenschaftsverlag, Mannheim 1994, pp. 103-140. Inoltre, ci sono due differenze. In primo luogo, mentre Heindorf dimostra il teorema per il calcolo intuizionistico LJ, noi lo dimostriamo per il il calcolo classico LK. In secondo luogo, il nostro calcolo contiene solo la regola strutturale di Weakening e questo consente di semplificare la dimostrazione del teorema di eliminazione del taglio, evitando di dover far ricorso alla regola di fusione equivalente a quella del taglio. Un metodo simile è seguito anche da R. David, K. Nour, C. Raffalli, Introduction à la logique. Théorie de la démonstration, Dunod, Paris 2003, pp. 200-211. Anche altre esposizioni del teorema si differenziano dalla dimostrazione originale. Si veda, ad esempio, la dimostrazione schizzata in J.Y. Girard, Prooftheory and Logical Complexity, vol. I, Bibliopolis, Napoli, pp. 105-114, basata sulla doppia induzione sull’altezza della derivazione (height) e sul grado di complessità (degree) della formula soggetta al taglio. Per altri metodi si veda il cap. 4 di A. S. Troelstra, H. Schwichtenberg, Basic Proof Theory, Cambridge University Press, 2000, pp. 92-146. Un testo generale sui vari metodi di Cut-elimination è M. Baaz, A. Leitsch, Methods of Cut-Elimination, Springer, Dordrecht-NewYork 2011. Recentemente è uscito un numero unico di Studia Logica concernente i sistemi di deduzione inventati da Gentzen e da Jaskowski e perfezionati da altri studiosi. Si tratta di uno Special Issue a cura di Andrzej Indrzejczak, “Gentzen’s and Jaskowski’s Heritage. 80 Years of Natural Deduction and Sequent Calculi”, Studia Logica (2014), 102. Il volume si articola in tre parti: la prima comprende una esposizione preliminare del calcolo dei sequenti LK. Nella seconda si enuncia e si dimostra l’Hauptsatz. Nella terza sono illustrate alcune importanti conseguenze dell’Hauptsatz, alcune di carattere formale, altre di significato più filosofico. La seconda parte è arricchita di una appendice tecnica.Tratto dall'Introduzione

Parafrasi schröderiane: Ovvero: Ernst Schröder, Le operazioni del calcolo logico. E-book. Formato PDF Davide Bondoni   -  Led Edizioni Universitarie, 2012  - 

Questo volume presenta la prima traduzione italiana dell’Operationskreis des Logikkalkuls schröderiano, che costituisce il primo contributo significativo del matematico tedesco all’algebra della logica. Schröder enuncia qui nel solo spazio di 37 pagine ciò di cui si occuperà nelle opere successive. In particolare sottolinea l’importanza cruciale del problema della soluzione, che rimarrà fino alla fine dei suoi giorni il tema principale dei suoi lavori, evidenziando una vocazione algebrica che non verrà mai meno, nonostante le dichiarazioni di volersi emancipare completamente dalla matematica. Una serie di note e interpolazioni corredano il testo, chiarendo di volta in volta i passaggi oscuri o troppo compressi. In appendice si riportano alcuni articoli di difficile reperibilità e stralci da opere di Boole, Peirce e Frege inerenti al cuore del lavoro di Schröder. Una nota sul rapporto tra sviluppo di funzione booleano e serie di Taylor chiude il volume. Al termine, un elenco di tutti gli enunciati schröderiani in veste moderna permette al lettore di avere un quadro d'insieme del testo tradotto e di ritrovare con facilità i risultati.